Hoje me deparei com o bug de que a versão desktop do Skype me desconectava automaticamente logo após alguns segundos do login. Após alguma investigação, encontrei a causa do problema.

O Skype e a conta Microsoft estavam vinculados; depois que desvinculei a conta Microsoft, funcionou perfeitamente.

Para desvincular, acesse o site do Skype, faça login, vá para as configurações da conta, onde já é possível desvincular a conta Microsoft. Depois disso, naturalmente, só será possível fazer login com o nome de usuário do skype.