Heute bin ich auf den Fehler gestoßen, dass die Desktop-Version von Skype sich innerhalb weniger Sekunden nach der Anmeldung automatisch abmeldete. Nach einiger Recherche fand ich die Ursache des Problems.

Das Skype- und das Microsoft-Konto waren miteinander verknüpft, nachdem ich das Microsoft-Konto getrennt hatte, funktionierte es einwandfrei.

Um die Verknüpfung zu trennen, muss man die Skype-Webseite besuchen, sich dort anmelden und dann zu den Kontoeinstellungen gehen, wo man das Microsoft-Konto trennen kann. Danach kann man sich natürlich nur noch mit dem Skype-Benutzernamen anmelden.